La Paradoja de los Cumpleaños: Entendiendo la Probabilidad

El problema planteado

La paradoja de los cumpleaños considera un grupo de n personas y pregunta cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas tengan el mismo cumpleaños, suponiendo que todos los cumpleaños son igualmente probables y distribuidos uniformemente a lo largo de los 365 días del año.

Intuitivamente, uno podría pensar que para que dos personas compartan un cumpleaños en un grupo pequeño, la probabilidad debería ser baja. Sin embargo, los cálculos muestran que la realidad es muy diferente. La paradoja demuestra que en un grupo de solo 23 personas, la probabilidad de que al menos dos compartan el mismo cumpleaños es de aproximadamente 50%. Esta probabilidad aumenta rápidamente con el tamaño del grupo, llegando a más del 99% en un grupo de 57 personas.

El cálculo

Para entender cómo se calcula esta probabilidad, se sigue un enfoque de complementos. En lugar de calcular directamente la probabilidad de que al menos dos personas compartan el mismo cumpleaños, se calcula la probabilidad de que todas las personas tengan cumpleaños diferentes. Existen dos posibilidades, o todas las personas cumplen en días diferentes o al menos dos comparten el cumpleaños. Eso significa que la suma de esas probabilidades es 1:

P(todos cumpleaños distintos) + P(al menos dos iguales) = 1

P(al menos dos iguales) = 1 - P(todos distintos)

 

Para calcular la probabilidad de que dos o mas personas compartan el cumpleaños, calculamos la probabilidad de que todos tengan fechas distintas y se lo restamos a 1.

Probabilidad de cumpleaños diferentes: Para la primera persona, cualquier día del año está disponible (probabilidad 1). Para la segunda persona, hay 364 días disponibles de los 365, porque el primero ya tiene una fecha y no queremos que se repita.La probabilidad de que la segunda persona cumpla en un día distinto a la primera persona es 364/365, para la tercera persona hay 363 días disponibles, y así sucesivamente. La probabilidad de que n personas tengan cumpleaños diferentes es:

La probabilidad de que al menos dos personas compartan la fecha de cumpleaños, será entonces ese valor restado de 1. Es decir:

P(al menos dos iguales) = 1 - P(todos diferentes)

Si usamos n=23, queda:

Es decir, más de un 50% de probabilidad de que al menos dos personas compartan la fecha de cumpleaños.
Se puede calcular fácilmente que si la cantidad de personas es 53, la probabilidad de que dos personas compartan la fecha de cumpleaños es aproximadamente 98%.

 

La paradoja de los cumpleaños, además de servir para comprender mejor las probabilidades y sorprenderse del resultado, tiene implicaciones importantes en diversas áreas, desde la criptografía hasta la teoría de redes. En criptografía, por ejemplo, se utiliza para entender la probabilidad de colisiones en funciones hash, donde se busca minimizar la posibilidad de que dos entradas diferentes produzcan la misma salida.

Reflexión final

La paradoja de los cumpleaños es un ejemplo poderoso de cómo la probabilidad puede desafiar nuestra intuición y expectativas. Nos recuerda la importancia de analizar cuidadosamente los problemas y confiar en los cálculos matemáticos en lugar de nuestras impresiones iniciales. Este fenómeno no solo es un tema interesante en la teoría de probabilidades, sino que también tiene aplicaciones prácticas y profundas en el mundo real.

En resumen, la paradoja de los cumpleaños nos enseña que, en el campo de la probabilidad, las respuestas pueden ser sorprendentes y a menudo contraintuitivas, subrayando la necesidad de un análisis riguroso y matemático para entender verdaderamente las dinámicas de los eventos aparentemente simples.

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